Многочлен и его стандартный вид
Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена
4x2y - 5xy + 3x -1 являются 4x2y, -5xy, 3x и -1 .
Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех - трехчленом . Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.
В многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 члены 7x3y2 и - 2y2x3 являются подобными слагаемыми, так как имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными являются и слагаемые -12 и 6, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене - приведением подобных членов многочлена.
Приведем для примера подобные члены в многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6 .
Многочлен называется многочленом стандартного вида, если каждый его член является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно
каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные
слагаемые.
Степенью многочлена стандартного вида
называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Степенью произвольного многочлена
называют степень тождественно равного ему одночлена стандартного вида.
Для примера найдем степень многочлена 8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 :
8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.
Заметим, что в исходный многочлен входят одночлены шестой степени, но
при приведении подобных членов все они сократились, и получился
многочлен третьей степени, значит и исходный многочлен имеет степень 3!
Сложение и вычитание многочленов
Сложим многочлены 5y2 + 2y - 3 и 7y2 - 3y + 7.
Для этого составим их сумму, затем раскроем скобки и приведем подобные члены:
( 5y2 + 2y - 3 ) + ( 7y2 - 3y + 7 ) = 5y2 + 2y - 3 + 7y2 - 3y + 7 =
12y2 - y + 4
Сумму многочленов
5y2 + 2y - 3 и 7y2 - 3y + 7 мы представили в виде многочлена 12y2 - y + 4.
Вообще сумму любых многочленов можно представить и виде многочлена.
Вычтем из многочлена 8y2 + 5y + 3 многочлен 5y2 - 3y + 7.
Для этого составим их разность, затем раскроем скобки и приведем подобные члены:
( 8y2 + 5y + 3 ) - ( 5y2 - 3y + 7 ) =
8y2 + 5y + 3 - 5y2 + 3y - 7 =
3y2 + 8y - 4
Разность многочленов
8y2 + 5y + 3 и 5y2 - 3y + 7 мы представили в виде многочлена 3y2 + 8y - 4.
Вообще разность любых многочленов можно представить и виде многочлена.
При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.
Иногда требуется решить обратную задачу- представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются правилом:
если перед скобками ставится знак «плюс », то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками;
если перед скобками ставится знак «минус », то члены, которые заключают в скобки, записывают с противоположными знаками.
Например
4x + 3y - 2 = 4x + ( 3y - 2 )
4x + 3y - 2 = 4x - ( -3y + 2 )
Умножение
одночлена на многочлен.
Пусть требуется умножить
одночлен 2а 3 на многочлен 3а 4 - 4а 2 + а.
Составим произведение:2а 3(3а 4
- 4а 2 + а)
Из распределительного
свойства умножения следует: для тoгo, чтобы число умножить на сумму, надо
умножить eгo на каждое слагаемое и результаты сложить. Воспользовавшись распределительным свойством
умножения, преобразуем coставленное произведение:
2а 3 (3а 4
- 4а 2 + а) = 2а 3 · 3а 4 - 2а 3 · 4а 2 + 2а 3 · a
= 6а 7 - 8а 5 +
2а 4 .
При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим
правилом:
чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умнoжить
этот одночлен па каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Чтобы умножить многочлен на многочлен. надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
|
